2. Definición General Un Proceso de Renovación es el proceso de conteo para el cual los tiempos entre los eventos exitosos son independientes e idénticamente distribuidos, con distribución arbitraria.
3. Notación Sea {N(t), t ≥ 0} el proceso de conteo. Xn denota el tiempo entre (n-1) y el enésimo evento de un proceso, donde n ≥ 1.
4. Definición Formal Si una sucesión de variables aleatorias no negativas {X1, X2,…} es independiente y está idénticamente distribuida entonces {N(t), t ≥ 0} es un proceso de renovación.
5. Ejemplo Suponer que tenemos una cantidad infinita de bombillas con tiempo de vida independiente e idénticamente distribuido. Se utilizará una sola bombilla a la vez y cuando esta falle se sustituirá por una nueva. Bajo estas condiciones {N(t), t ≥ 0}, es un proceso de renovación donde N(T) representa el número de bombillas que han fallado para el tiempo t.
6. Para un Proceso de Renovación teniendo tiempos entre llegadas X1, X2,…, sea S0 = 0 Sn = será la suma de n variables aleatorias independientes
7. Ejemplo Suponer que tenemos una cantidad de 3 bombillas con tiempo de vida independiente e idénticamente distribuido. Se utilizará una sola bombilla a la vez y cuando esta falle se sustituirá por una nueva.
9. Ley Fuerte de los Números Grandes Sea X1, X2,… una secuencia de variables aleatorias independientes con una distribución en común y sea E[Xi]=μ. Entonces con probabilidad 1,
10. Ley Fuerte de los Números Grandes para la Renovación de los Procesos Para un proceso de renovación con media entre renovaciones e intervalosμ con probabilidad 1.
11. Teorema del Límite Central Provee un método simple paracomputarprobabilidadesaproximadaspara la suma de variables aleatoriasindependientes.
12. Teorema del Límite Central Teorema: Sea X1, X2,… unasecuencia de variables aleatoriaindependientes e idénticamentedistribuidas con promedioμ y varianzaσ2. Entonces la distribución de tiende al estándar normal según n->∞. Estoes
14. Ejemplo: De Binomial a Aproximación Normal Se tira una moneda justa 40 veces. Si la Var(X)=10 encuentre la probabilidad de que X=20 usando la aproximación normal.
15. Teorema del Límite Central paraProcesos de Renovación Para un t grande, N(t) esaproximádamente normal con media t/μ y varianza (t σ2/μ3), dondeμ y σ2 son la media y la varianzarespectivamente de unadistribución entre llegadas.
16. SN(t) -> tiempo de la últimarenovaciónantes de o en el tiempo t. SN(t)+1 -> tiempo de la primerarenovacióndespués del tiempo t.
17. Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras. Media = 100 * 0,5 = 50 Varianza = 100 * 0,25 = 25
18. Proceso de Renovación-Recompensa Cada vez q ocurre un proceso de renovación se recibe una recompensa. Se denota R(t) como la recompensa que se gana en el tiempo t. R(t) en un tiempo t solo depende del intervalo particular entre renovaciones q contiene t.
19.
20. Vida Residual Es el intervalo desde n hasta la próxima época de renovación.
21. Ejemplo Sea Y(t) la vida residual en el tiempo t. Si llegamos a una parada de guagua en el tiempo t y las guaguas llegan siguiendo un proceso de renovación entonces Y(t) es el tiempo que tenemos que esperar para que llegue la guagua. Se interpreta {Y(t); t ≥ 0} como un proceso de recompensa.
22. Proposición Si E[R] < ∞ y E[X] < ∞, entonces Con probabilidad 1, de otro modo Donde R(t) es una función de renovación-recompensa para un proceso de renovación.
23. Tiempo de Parada Un tiempo de parada N para una sucesión de variables aleatorias independientes X1, X2, …, es un valor entero positivo aleatorio si el evento {N=n} es independiente a Xn+1, Xn+2, …
24. Ejemplo Considere un proceso Bernoulli. Un árbol representa un conjunto de sucesiones binarias. La regla particular de tiempo de parada para este ejemplo es parar cada vez que ocurra aparición de la cadena (1,0)
25. Igualdad de Wald Si X1, X2, … son independientes e idénticamente distribuidas y tienen una media finita E(X), y si N es un tiempo de parada para esta sucesión, entonces
26. Aplicación de la Igualdad de Wald Simplifica el cálculo del valor esperado de la suma de una cantidad de números aleatorios. Una aplicación es la ciencia actuarial con la que, al recuperar ciertos datos, se puede calcular el total esperado de reclamaciones de seguros individuales.
